[벡터 미적분학] 단변량함수의 미분 (Differentiation of Univariate Functions)

1. Differentiation of Univariate Functions(단변량함수의 미분)

우선 변수가 하나인 함수의 미분에 대해 다룬다.

 

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2. Difference Quotient(차분몫)

Difference Quotient 식은 아래와 같다.

만약 f가 선형적인 상황에서는 Difference Quotient가 평균 기울기와 동일하다.

이는 "image의 차이/input의 차이"로 설명할 수도 있다.

 

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3. Derivative(미분계수)

h>0일 때 f의 x에서의 derivative는 아래와 같다.

그리고 이는, f의 값을 가장 가파르게 상승시키는 방향을 가르킨다. (Steepest ascent)

 

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3.1. Differentiation Rules

몇가지 기본적인 미분 규칙은 아래와 같다.

 

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4. Taylor Series(테일러 급수)

Taylor Series는 함수 f를 x0에서의 미분 계수를 이용해 무한한 합으로 표현한 것이다. 이때 f는 smooth function이어야 한다.

(*smooth function(매끄러운 함수): 무한 번 미분 가능한 함수)

 

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• 자주 사용하는 Taylor Series (초월함수)예시는 아래와 같다.

 

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• 다항식을 Taylor Series로 표현해보자.

Example) f(x) = x^3에 대해 x0 = 1에서의 Taylor series을 구하라.

이처럼 f(x)가 다항식일 때, 이를 Taylor series로 표현하면 원래의 다항식으로 환원됨을 알 수 있다.