수학(Mathematics)/확률및통계(Probability & Statistics)11 [연속확률변수] 감마분포 (Gamma Distribution) 이번 챕터부터는 기타 연속분포에 대해 다룬다 1. 감마분포 Gamma Distribution 이번 챕터에서의 감마함수는 공학에서 사용되는 감마함수만큼 깊이 있게 다루는 것이 아니라, 확률 분포에 사용되는 간단한 성질만 알아볼 것이다. 1.1. 감마 함수 Gamma Function 감마 함수에 대한 식은 아래와 같다. 이 감마함수는 아래의 성질을 만족한다. 이에 대한 증명은 아래와 같다. 위 성질을 통해 알 수 있듯이, Gamma function은 factorial을 실수 범위로 확장한다. 1.2. 확률밀도함수 PDF x>=0의 범위에서 확률변수 X의 pdf가 다음과 같을 때, 이 분포를 감마분포라 부른다. 이에 대한 증명은 아래와 같다. 1.3. 기댓값 Expectation 감마분포의 기댓값은 다음과 같.. 2023. 5. 30. [연속확률변수] 지수확률변수 (Exponential Random Variable) 3. Exponential Random Variable(지수확률변수) 3.1. PDF PDF가 𝜆>0의 범위에서 다음과 같은 Continuous random variable을 Exponential Random Variable이라 부른다. 3.2. CDF Exponential Random Variable의 CDF: F(x)는 다음과 같다. 이에 대한 증명은 아래와 같다. 3.3. Expectation Exponential Random Variable의 Expectation은 다음과 같다. 이에 대한 증명은 아래와 같다. 3.4. Variance Exponential Random Variable의 Variance는 다음과 같다. 이에 대한 증명은 아래와 같다. 2023. 5. 15. [연속확률변수] 정규확률변수 (Gaussian/Normal Random Variable) 1. Unit Normal Random Variable(표준정규확률변수) 1.1. PDF Normal distribution에서 𝜇=0 이고, 𝜎=1 인 Unit normal distribution의 PDF는 다음과 같다. 위 f(x)가 실제로 PDF인지의 증명과정은 아래와 같다. 1.2. Expectation Unit normal distribution의 Expectation과 증명과정은 아래와 같다. 1.3. Variance Unit normal distribution의 Expectation과 증명과정은 아래와 같다. 2. Normal (Gaussian) Random Variable(정규확률변수) 2.1. PDF Normal Random Variable의 PDF는 다음과 같다. X가 이러한 PDF.. 2023. 5. 15. [연속확률변수] 균일확률변수 (Uniform Random Variable) 1. Uniform Random Variable(균일확률변수) 확률변수 X의 Probability density function이 다음과 같이 주어지면, X를 구간 (a,b)에서 Uniform random variable이라 한다. X가 (a,b)의 어떤 특정한 부분구간에 포함될 확률은 그 부분구간의 길이와 같다. 1.1. PDF 확률변수 X의 Probability density function이 다음과 같이 주어지면, X를 구간 (a,b)에서 Uniform random variable이라 한다. X가 (a,b)의 어떤 특정한 부분구간에 포함될 확률은 그 부분구간의 길이와 같다. 1.2. CDF Uniform Random Variable의 CDF는 다음과 같다. 이에 대한 증명은 아래와 같다. 1.3. .. 2023. 5. 15. [연속확률변수] 기댓값과 분산 (Expectation and Variance) 1. Expectation(기댓값) 유도하는 전체적인 흐름은 dicrete random variable과 같다. Definition 1) Continuous Random Variable의 기댓값은 다음과 같이 정의한다. Lemma 2.1) Non-negative random variable Y에 대해 다음이 성립한다. Lemma 2.1의 증명은 아래와 같다. 이때 범위가 (-∞,∞)이 아니라 (0,∞)인 이유는, Y가 non-negative random variable이기 때문에, (-∞,0) 에서는 값이 0이다. Proposition 2.1) X가 확률밀도함수 f(x)를 가진 연속확률변수이면, 임의의 실숫값 함수 g에 대해 다음이 성립한다. 이 proposition 2.1은 Lemma 2.1을 이용하여.. 2023. 5. 14. 이전 1 2 3 다음
