수학(Mathematics)21 [결합분포확률변수] 독립확률변수 (Independent Random Variables) 이 챕터에서는 확률변수가 두개 이상인 Jointly distributed random variable에서의 독립(Independent)에 대해 다룬다. 2.1. 독립확률변수 Independent Random Variables 다음 식을 만족하는 두 사건 E, F를 Independent라 부른다. 이는 다음과 같이 표현할 수도 있다. 확률변수 X와 Y가 임의 실수의 집합 A와 B에 대해 다음이 성립하면 X와 Y가 Independent하다고 한다. 2.2. Proposition Continuous(Discrete) random variable X와 Y가 Independent일 필요충분조건은 그것의 Jointly probability density(mass) function이 다음과 같이 표현될 수 있다는 것.. 2023. 6. 2. [결합분포확률변수] 결합분포함수 (Joint Distribution Functions) 이전까지는 하나의 확률변수에 대한 분포를 다루었다. 이번 챕터부터 다룰 확률문제나 분포는 두개 이상의 확률변수를 가진다. 1. 결합확률질량함수 Joint Probability Mass Function X와 Y가 discrete한 경우 Joint Distribution Function은 다음과 같다. 가운데에 있는 comma(,)는 and로 해석할 수 있다. 확률변수 X와 Y가 동시에 일어날 확률을 계산하면 된다. 2. 주변확률질량함수 Marginal Probability Mass Function X와 Y에 대한 주변확률질량함수 Marginal Probability Mass Function는 다음과 같다. 즉, X에 대한 주변확률질량변수는 X의 주변 즉 Y의 변수(경우)를 모두 더하여 구할 수 있고, Y에.. 2023. 6. 1. [연속확률변수] 베타분포 (Beta Distribution) 4. 베타 분포 Beta Distribution 4.1. 베타 함수 Beta Function 베타함수의 정의는 다음과 같다. 4.2. 베타함수와 감마함수의 관계 Relationship between Beta and Gamma function 베타함수와 감마함수는 다음과 같은 관계를 가진다. 이에 대한 증명은 아래와 같다. 이때 ⓐ에서의 치환 범위는 아래의 그림을 참고하자. 아래 그래프의 축은 각각 가로: x축, 세로: y축 이고, 치환은 x = zt, y = z(1-t)이다. 그림 1) x와 y의 적분 구간이 각각 0 < x < ∞, 0 < y 2023. 5. 31. [연속확률변수] 코시분포 (Cauchy Distribution) 3. 코시분포 Cauchy Distribution 3.1. 누적분포함수 CDF Cauchy distribution의 CDF는 다음과 같다. 이에 대한 증명은 아래와 같다. 3.2. 확률밀도함수 PDF 모든 실수에서 다음과 같은 PDF를 가질 때, 이 분포를 Cauchy distribution이라 부른다. 주어진 CDF에서 x를 무한대로 보내면 PDF가 만족함을 알 수 있다. 3.3. 기댓값 Expectation 코시분포의 기댓값과 분산은 존재하지 않는다. 이를 증명함에 있어 자주 하는 실수와 올바른 풀이를 각각 보이겠다. Expectation의 정의에 의해 다음까지 식을 유도할 수 있다. 3.3.1. 자주하는 실수 이때, y = 1 + t^2으로 치환하여 다음과 같이 유도하면, Expectation의 값.. 2023. 5. 30. [연속확률변수] 와이블분포 (Weibull Distribution) 2. 와이블분포 Weibull Distribution 와이블 분포는 많은 부품으로 구성된 제품 중 하나가 고장 나게 된다면 제품 전체가 고장난다는 전제 하에서 제품의 수명 분포에 근사한다. 이러한 특성에 의해 공학에서 널리 사용되고 있다. 2.1. 확률밀도함수 PDF 확률변수 X가 x>v의 범위에서 다음 함수를 pdf로 가질 때, 와이블 분포를 따른다고 한다. 이는 누적분포함수 CDF를 미분하여 구할 수 있다. 2.2. 누적분포함수 CDF 와이블 확률변수는 아래의 누적분포함수를 가진다. 이에 대한 증명은 아래와 같다. 2.3. 기댓값 Expectation 와이블분포의 기댓값은 아래와 같다. 이에 대한 증명은 아래와 같다. 2.4. 분산 Variance 와이블분포의 분산은 아래와 같다. 이에 대한 증명은 .. 2023. 5. 30. 이전 1 2 3 4 5 다음
