[연속확률변수] 베타분포 (Beta Distribution)

4. 베타 분포 Beta Distribution

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4.1. 베타 함수 Beta Function

베타함수의 정의는 다음과 같다.

 

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4.2. 베타함수와 감마함수의 관계 Relationship between Beta and Gamma function

베타함수와 감마함수는 다음과 같은 관계를 가진다.

 

이에 대한 증명은 아래와 같다.

 

이때 ⓐ에서의 치환 범위는 아래의 그림을 참고하자.

아래 그래프의 축은 각각 가로: x축, 세로: y축 이고, 치환은 x = zt, y = z(1-t)이다.

그림 1) x와 y의 적분 구간이 각각 0 < x < ∞, 0 < y < ∞ 이므로, 직선 x + y = z 의 범위 또한 0 < x + y = z < ∞ 이 된다.

그림 2) 이때, x + y = z 에 의해 t의 값에 따라 직선 위 한 점이 결정된다. 이 점이 x,y의 적분 범위인 1사분면 안에 들어와야 한다고 했을 때, 위 표시된 부분을 벗어나면 안 된다. 따라서 t의 적분구간은 0 < t < 1 이다.

 

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4.3. 확률밀도함수 PDF

0<x<1의 범위에서 다음과 같은 pdf 를 가지면, 확률변수가 Beta distribution을 따른다고 한다.

 

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4.4. 기댓값 Expectation

Beta distribution의 Expectation은 다음과 같다. 

 

이에 대한 증명은 아래와 같다.

 

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4.5. 분산 Variance

Beta distribution의 Variance는 다음과 같다.

 

이에 대한 증명은 다음과 같다.