전체 글54 [연속확률변수] 코시분포 (Cauchy Distribution) 3. 코시분포 Cauchy Distribution 3.1. 누적분포함수 CDF Cauchy distribution의 CDF는 다음과 같다. 이에 대한 증명은 아래와 같다. 3.2. 확률밀도함수 PDF 모든 실수에서 다음과 같은 PDF를 가질 때, 이 분포를 Cauchy distribution이라 부른다. 주어진 CDF에서 x를 무한대로 보내면 PDF가 만족함을 알 수 있다. 3.3. 기댓값 Expectation 코시분포의 기댓값과 분산은 존재하지 않는다. 이를 증명함에 있어 자주 하는 실수와 올바른 풀이를 각각 보이겠다. Expectation의 정의에 의해 다음까지 식을 유도할 수 있다. 3.3.1. 자주하는 실수 이때, y = 1 + t^2으로 치환하여 다음과 같이 유도하면, Expectation의 값.. 2023. 5. 30. [연속확률변수] 와이블분포 (Weibull Distribution) 2. 와이블분포 Weibull Distribution 와이블 분포는 많은 부품으로 구성된 제품 중 하나가 고장 나게 된다면 제품 전체가 고장난다는 전제 하에서 제품의 수명 분포에 근사한다. 이러한 특성에 의해 공학에서 널리 사용되고 있다. 2.1. 확률밀도함수 PDF 확률변수 X가 x>v의 범위에서 다음 함수를 pdf로 가질 때, 와이블 분포를 따른다고 한다. 이는 누적분포함수 CDF를 미분하여 구할 수 있다. 2.2. 누적분포함수 CDF 와이블 확률변수는 아래의 누적분포함수를 가진다. 이에 대한 증명은 아래와 같다. 2.3. 기댓값 Expectation 와이블분포의 기댓값은 아래와 같다. 이에 대한 증명은 아래와 같다. 2.4. 분산 Variance 와이블분포의 분산은 아래와 같다. 이에 대한 증명은 .. 2023. 5. 30. [연속확률변수] 감마분포 (Gamma Distribution) 이번 챕터부터는 기타 연속분포에 대해 다룬다 1. 감마분포 Gamma Distribution 이번 챕터에서의 감마함수는 공학에서 사용되는 감마함수만큼 깊이 있게 다루는 것이 아니라, 확률 분포에 사용되는 간단한 성질만 알아볼 것이다. 1.1. 감마 함수 Gamma Function 감마 함수에 대한 식은 아래와 같다. 이 감마함수는 아래의 성질을 만족한다. 이에 대한 증명은 아래와 같다. 위 성질을 통해 알 수 있듯이, Gamma function은 factorial을 실수 범위로 확장한다. 1.2. 확률밀도함수 PDF x>=0의 범위에서 확률변수 X의 pdf가 다음과 같을 때, 이 분포를 감마분포라 부른다. 이에 대한 증명은 아래와 같다. 1.3. 기댓값 Expectation 감마분포의 기댓값은 다음과 같.. 2023. 5. 30. [벡터 미적분학] 최소제곱해와 사영 (Least-square solution and projection) 1. Gradient of a Least-Squares Loss(최소제곱손실) in a Linear model 구하기 Example) 주어진 Linear model은 다음과 같다. 이때, 각 변수들은 다음을 만족하고, function은 각각 다음과 같다. L은 Least-square loss function(최소제곱손실함수)이며, 다음을 만족한다. 우리는 손실을 가장 줄이는 Loss function을 찾는 것이 목적이고, 이에 대한 표기는 다음과 같다. 1st) 먼저 gradient의 차원을 정의한다. 따라서, Loss function의 gradient는 1xD 차원이다. 2nd) 이제 Loss function의 partial derivative를 구한다. 이때 chain rule을 적용한다. 이므로, .. 2023. 5. 16. [벡터 미적분학] 벡터함수의 기울기 & 자코비안 (Gradient for Vector-Valued Function & Jacobian) 1. Vector-Valued Function 이전까지 다룬 함수는 n차원에서 1차원으로 mapping 되는 것이었다면, 이 장에서 다룰 함수는 n차원에서 m차원으로, 즉 더 일반적인 경우에 대한 mapping을 다룬다. (이때 n>=1, m>1을 만족한다.) n차원에서 m차원으로 mapping 되는 이 function values의 vector은 아래와 같다. input이 모두 vector임을 확인할 수 있다. 1.1. Gradient for Vector-Valued Function n에서 m차원으로 mapping 되는 위 vector-valued function의 partial derivative를 구하면 아래와 같다. partial derivatives의 row vector형태가 우리가 구하려는 각.. 2023. 5. 16. 이전 1 ··· 6 7 8 9 10 11 다음
