[연속확률변수] 코시분포 (Cauchy Distribution)

3. 코시분포 Cauchy Distribution

 

3.1. 누적분포함수 CDF

Cauchy distribution의 CDF는 다음과 같다.

이에 대한 증명은 아래와 같다.

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3.2. 확률밀도함수 PDF

모든 실수에서 다음과 같은 PDF를 가질 때, 이 분포를 Cauchy distribution이라 부른다.

주어진 CDF에서 x를 무한대로 보내면 PDF가 만족함을 알 수 있다.

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3.3. 기댓값 Expectation

코시분포의 기댓값과 분산은 존재하지 않는다.

 

이를 증명함에 있어 자주 하는 실수와 올바른 풀이를 각각 보이겠다.

Expectation의 정의에 의해 다음까지 식을 유도할 수 있다.

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3.3.1. 자주하는 실수

이때, y = 1 + t^2으로 치환하여 다음과 같이 유도하면, Expectation의 값이 수렴하는 오류에 도달하게 된다.

이는 적분 과정에서 아래의 내용을 고려하지 않아서 발생한 오류이다.

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3.3.2. 올바른 풀이

적분의 기본 개념으로 다시 돌아가보자.

적분의 인테그랄 기호는 사실은 다음과 같은 의미를 내포한다.

직관적으로 무한대를 값으로 취급하여 대입하는 것이 아니라, 정적분 a와 b의 구간에서 a,b를 각각 음,양 무한대로 극한을 취하는 것이다.

이를 이용해 올바른 풀이로 풀어보면 다음과 같다.

이때, a와 b의 관계를 어떻게 설정하느냐에 따라 다음과 같이 무수히 많은 값이 존재하므로, 적분의 수렴값이 정해지지 않는다. 즉, 적분이 발산하며 값이 존재하지 않는다. 

따라서 기댓값이 존재하지 않는다.

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3.4. 분산 Variance

기댓값이 존재하지 않으므로, 분산도 존재하지 않는다.

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3.5. Heavy tail 과 Light tail

그래프의 오른쪽 끝에서 감소하는 부분을 tail이라 한다.

 

5-5에서 보인 exponential distribution의 그래프보다 느리게 감소하는 tail을 가진 분포를 heavy tail distribution이라 하며,

exponential distribution의 그래프보다 빠르게 감소하는 tail을 가진 분포를 light tail distribution이라 한다.

 

Cauchy distribution의 그래프와 Gaussian distributon의 그래프를 비교하면 다음과 같다.

 

Cauchy distribution의 tail은 Gaussian distribution의 tail보다 천천히 감소하며, 두께는 더 두껍다.

• Gaussian distribution은 exponential로 그래프가 감소하는 반면,
• Cauchy distribution은 polynomial로 그래프가 감소한다.

 

• 이때 Gaussian distribution은 heavy tail이고,
• Cauchy distribution은 light tail이다.

이 비교를 보고, Cauchy distribution은 heavy tail distribution이라 무한대에서의 적분이 수렴하지 않는다고 직관적으로 생각할 수도 있다.