[결합분포확률변수] 결합분포함수 (Joint Distribution Functions)

이전까지는 하나의 확률변수에 대한 분포를 다루었다.

이번 챕터부터 다룰 확률문제나 분포는 두개 이상의 확률변수를 가진다.

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1. 결합확률질량함수 Joint Probability Mass Function

 

X와 Y가 discrete한 경우 Joint Distribution Function은 다음과 같다.

가운데에 있는 comma(,)는 and로 해석할 수 있다.

확률변수 X와 Y가 동시에 일어날 확률을 계산하면 된다.

 

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2. 주변확률질량함수 Marginal Probability Mass Function

 

X와 Y에 대한 주변확률질량함수 Marginal Probability Mass Function는 다음과 같다.

즉, X에 대한 주변확률질량변수는 X의 주변 즉 Y의 변수(경우)를 모두 더하여 구할 수 있고,

Y에 대한 주변확률질량변수는 Y의 주변, 즉 X의 변수(경우)를 모두 더하여 구할 수 있다는 개념이다.

이러한 작업을 Marginalization이라 한다.

 

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3. 결합분포함수 Joint Distribution Function

 

X와 Y가 discrete할 때, 결합분포함수 Joint Distribution Function는 다음과 같다.

 

2차원 평면에서의 집합 C에 대해 f(x,y)가 존재하면, X와 Y를 공동연속 jointly continuous라고 하며,

함수 f(x,y)를 결합확률밀도함수 Joint Probability Density Function라 한다.

이는 위 식을 두번 미분하여 구할 수 있다.

 

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4. 결합확률밀도함수 Joint Probability Density Function

 

3 에 의해 다음의 식이 성립하게 된다.

f(a,b)는 확률벡터 (X,Y)가 (a,b) 근처에 있을 확률을 나타낸다.

 

X와 Y가 공동연속이면 X와 Y 각각 또한 연속이고, 확률밀도함수를 각각 다음과 같이 구할 수 있다.

즉, joint CDF를 다음과 같이 나타낼 수 있다.

 

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5. 일반화

 

joint probability function이 n차원으로 확장되어도 과정은 동일하다.

다음과 같이 식을 전개할 수 있다.