[연속확률변수] 기댓값과 분산 (Expectation and Variance)

1. Expectation(기댓값)

유도하는 전체적인 흐름은 dicrete random variable과 같다.

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Definition 1)

Continuous Random Variable의 기댓값은 다음과 같이 정의한다.

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Lemma 2.1)

Non-negative random variable Y에 대해 다음이 성립한다.

Lemma 2.1의 증명은 아래와 같다.

이때 범위가 (-∞,∞)이 아니라 (0,∞)인 이유는,

Y가 non-negative random variable이기 때문에, (-∞,0) 에서는 값이 0이다.

 

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Proposition 2.1)

X가 확률밀도함수 f(x)를 가진 연속확률변수이면, 임의의 실숫값 함수 g에 대해 다음이 성립한다.

이 proposition 2.1은 Lemma 2.1을 이용하여 증명된다.

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다음으로는 proposition 2.1이 임의의 g(x)에 대해 성립하는지 알아보자.

증명은 다음과 같다.

 

g(x)를 위와 같이 둘로 나누면, 아래의 증명을 유도할 수 있다.

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Corollary 2.1)

이에 대한 증명은 아래와 같다.

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2. Variance(분산)

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Definition 2)

Continuous random variable의 Variance은 Discrete random variable과 동일하게 정의된다.

X가 기댓값이 𝜇인 random variable 이면 X의 variance는 다음과 같다.

이는 다음과 같은 방법으로도 구할 수 있다.

이에 대한 증명은 아래와 같다.

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Corollary 2.2)

분산에 대한 따름 정리는 다음과 같다.

이에 대한 증명은 아래와 같다.