[연속확률변수] 정규확률변수 (Gaussian/Normal Random Variable)

1. Unit Normal Random Variable(표준정규확률변수)

1.1. PDF

Normal distribution에서 𝜇=0 이고, 𝜎=1 인 Unit normal distribution의 PDF는 다음과 같다.

위 f(x)가 실제로 PDF인지의 증명과정은 아래와 같다.

 

proof 1

 

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1.2. Expectation

Unit normal distribution의 Expectation과 증명과정은 아래와 같다.

proof 2

 

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1.3. Variance

Unit normal distribution의 Expectation과 증명과정은 아래와 같다.

proof 3

 

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2. Normal (Gaussian) Random Variable(정규확률변수)

2.1. PDF

Normal Random Variable의 PDF는 다음과 같다.

 

X가 이러한 PDF를 따르면, X는 정규적으로 분포되어 있다고 한다.

 

 

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2.3. Normal Distribution(정규분포)

Normal Distribution은 Unit normal distribution에서 확률변수 X를 다음과 같이 확장하면 된다.

이에 대한 증명은 아래와 같다.

 

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2.4. Expectation

Normal Random Variable의 Expectation은 다음과 같다.

이에 대한 증명은 아래와 같다.

 

 

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2.3. Variance

Normal Random Variable의 Variance는 다음과 같다.

이에 대한 증명은 아래와 같다.